Vocabulaire et notations sur l'intégrale

La notation de l'intégrale est due au mathématicien allemand Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). Ce symbole fait penser à un « S » allongé et s’explique par le fait que l'intégrale est une aire calculée comme somme infinie d'aires de rectangles de largeur infinitésimale.

Plus tard, un deuxième mathématicien allemand, Bernhard Riemann (1826-1866) a établit une théorie aboutie du calcul intégral.

Vocabulaire
Les nombres \(a\) et \(b\) sont appelés les bornes de l'intégrale \(\displaystyle \int_a^b f(x)\ \text d x\).
L'intégrale \(\displaystyle \int_a^b f(x)\ \text d x\) est un nombre réel, sa valeur dépend de \(a\), \(b\) et \(f\).
\(x\) est appelée variable d’intégration. On dit que \(x\) est une variable muette : elle peut être remplacée par toute autre lettre différente de \(a\), \(b\) et de \(f\).

Exemple
\(\displaystyle \int_a^b f(x)\ \text d x=\displaystyle \int_a^b f(t)\ \text d t= \displaystyle \int_a^b f(u)\ \text d u\). 

Notation

La notation \(\text dx\) s'appelle parfois « accroissement infinitésimal de la variable \(x\) » et représente, dans la notation d'une intégrale, la largeur (infiniment petite) d'un rectangle de hauteur \(f(x)\).
Ainsi, la notation intégrale\(\displaystyle \int_a^b f(x)\ \text d x\) représente la somme, sur l'intervalle \([a~;~b]\), d'une infinité de rectangles de largeur infiniment petite \(\text dx\) et de longueur \(f(x)\).